已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1，该条件是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件？证明你的结论．

Question

已知a，b是实数，求证：a⁴-b⁴-2b²=1成立的充分条件是a²-b²=1，该条件是否为a⁴-b⁴-2b²=1成立的必要条件？证明你的结论．

Answer 1

证明：若a²-b²=1，则a⁴-b⁴-2b²=（a²-b²）（a²+b²）-2b²=a²+b²-2b²=a²-b²=1成立．即a⁴-b⁴-2b²=1成立的充分条件是a²-b²=1．
若a⁴-b⁴-2b²=1，则a⁴-b⁴-2b²-1=0，
即a⁴-（b⁴+2b²+1）=0，
∴a⁴-（b²+1）²=0，
∴（a²+b²+1）（a²-b²-1）=0，
∵a²+b²+1≠0，
∴a²-b²-1=0，
即a²-b²=1成立．即a²-b²=1是否为a⁴-b⁴-2b²=1成立的必要条件．
综上：a⁴-b⁴-2b²=1成立的充要条件是a²-b²=1．