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命题(*):设a,b,c是非负实数,如果a4+b4+c4≤2(a2b2+b2c2+c2a2),则a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca)(1)证明命题(*)是正确的;(2)试写出命题(*)的逆命题,并判定你写出的逆命题是否是真命题
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命题(*):设a,b,c是非负实数,如果a4+b4+c4≤2(a2b2+b2c2+c2a2),则a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca)
(1)证明命题(*)是正确的;
(2)试写出命题(*)的逆命题,并判定你写出的逆命题是否是真命题,写出理由.
(1)证明命题(*)是正确的;
(2)试写出命题(*)的逆命题,并判定你写出的逆命题是否是真命题,写出理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)不妨设a、b、c中a为最大.
因为2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)=(2ab)2-(a2+b2-c2)2≥0,
所以2ab≥a2+b2-c2,
a2+b2+c2=(a2+b2-c2)+2c2≤2ab+2c2≤2(ab+bc+ca);
(2)(*)的逆命题:设a、b、c是非负实数.如果a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca),
则a4+b4+c4≤2(a2b2+b2c2+c2a2),
这逆命题不真,例如a=4,b=c=1时,
a2+b2+c2=2(ab+bc+ca)=18,
而a4+b4+c4=258>2(a2b2+b2c2+c2a2)=66.
因为2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)=(2ab)2-(a2+b2-c2)2≥0,
所以2ab≥a2+b2-c2,
a2+b2+c2=(a2+b2-c2)+2c2≤2ab+2c2≤2(ab+bc+ca);
(2)(*)的逆命题:设a、b、c是非负实数.如果a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca),
则a4+b4+c4≤2(a2b2+b2c2+c2a2),
这逆命题不真,例如a=4,b=c=1时,
a2+b2+c2=2(ab+bc+ca)=18,
而a4+b4+c4=258>2(a2b2+b2c2+c2a2)=66.
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