范德蒙德行列式第一行1111第二行abcd第三行a2b2c2d2第四行a4b4c4d4证明其结果为某个式子解答如下,作辅助行列式D1=11111abcdxa^2b^2c^2d^2x^2a^3b^3c^3d^3x^3a^4b^4c^4d^4x^4此为Vande

Question

范德蒙德行列式 第一行1 1 1 1 第二行a b c d 第三行a2 b2 c2 d2 第四行a4 b4 c4 d4 证明其结果为 某个式子解答如下,作辅助行列式D1 =
1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4
此为Vandermonde行列式,故
D1 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).
又因为行列式D1中x^3的系数-M44即为行列式D
所以
D = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)
问：因为行列式D1中x^3的系数-M45即为行列式D
所以
D = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)是怎么来的,或者说,m45如何求

Answer 1

1)为什么说 D1中x^3的系数为-M45?
答：因为行列式 D1按第5列展开后将得到降阶展式
D1=1*[(-1)^(1+5)]M15+x*[(-1)^(2+5)]M25+x^2*[(-1)^(3+5)]M35+x^3*[(-1)^(4+5)]M45+x^4M55
=M15-xM25+x^2M35-x^3M45+x^4M55
可以知道,x^3的系数不是别的,就是 -M45 .
2）M45=D这是学习行列式之初,给出【余子式】、【代数余子式】的概念时就已经建立起来的常识.从D1中划去x^3所在行、所在列的所有元素后剩下的元素按原样排列,不就是 D
至于 D=-（b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)
你把 D1的展式 D1=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) 乘开（用不着全部,只需把（x-a)(x-b)(x-c)(x-c) 这几个）,找到 x^3 的系数,就见端倪了.