a,b大于0,求a3+b3大于a2b+b2a,此题用设a为x的方法怎么做,急!

Question

a,b大于0,求a3+b3大于a2b+b2a,此题用设a为x的方法怎么做,急!

Answer 1

a³+b³-(a²b+b²a)
=a³-a²b+b³-b²a
=a²(a-b)+b²(b-a)
=(a-b)(a²-b²)
=(a-b)(a-b)(a+b)
=(a-b)²(a+b)
因为a,b大于0
所以(a-b)²(a+b)＞0
所以a³+b³＞a²b+b²a
用设a为x的方法只要将上面的a换为x即可.即：
令f(x)=x³+b³-(x²b+b²x),（x>0） 则
f(x)=x³+b³-(x²b+b²x)
=x³-x²b+b³-b²x
=x²(x-b)+b²(b-x)
=(x-b)(x²-b²)
=(x-b)(x-b)(x+b)
=(x-b)²(x+b)>0 (因为x,b大于0）
所以x³+b³＞x²b+b²x
即a³+b³＞a²b+b²a