已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x-c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k>0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A

Question

已知椭圆M：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的离心率为(1)/(2)，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x-c）²+y²=a²+c²（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k>0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．
（1）求椭圆方程和直线方程；
（2）试在圆N上求一点P，使(PB)/(PA)=2√(2)．

Answer 1

（1）由题意有

(c)/(a)=(1)/(2)

(a2)/(c)-c=3

，解得a=2，c=1，
从而b=√(3)，
∴椭圆的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；
圆N的方程为（x-1）²+y²=5，圆心到直线的距离d=(|k+m|)/(√(k2+1))=√(5)①
直线l：y=kx+m代入(x2)/(4)+(y2)/(3)=1，整理可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=0，可得m²=3+4k²，②
由①②，k>0，可得m=2，k=(1)/(2)，
∴直线方程为y=(1)/(2)x+2；
（2）由（1），可得A（-1，1.5），B（0，2），
设P（x，y），则x²+（y-2）²=8（x+1）²+8（y-1.5）²，∴7x²+7y²+16x-20y+22=0
与（x-1）²+y²=5联立，可得x=-1，y=1或x=-(9)/(13)，y=(19)/(13)，
∴P（-1，1）或（-(9)/(13)，y=(19)/(13)）．