在如图所示的组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的

Question

在如图所示的组合体中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．
（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A₁C与AB₁的所成角的大小；
（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

Answer 1

（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A₁C，
∴∠AOD（或其补角）为异面直线A₁C与AB₁的所成角，
设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=(1)/(2)A₁C=(√(6))/(2)，AO=√(2)，AD=(√(10))/(2)，
∴cos∠AOD=(2+(3)/(2)−(5)/(2))/(2×√(2)×(√(6))/(2))=(√(3))/(6)
∴∠AOD=arccos

作业帮用户 2017-09-19

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问题解析

（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A₁C，∠AOD（或其补角）为异面直线A₁C与AB₁的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A₁C与AB₁的所成角的大小；
（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，求出三棱锥A₁-ABC的体积为，从而求出四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本小题主要考查直线与直线的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

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