an=n^2令bn＝1-1/a(n+1)Bn=b1b2……bn比较n/3^(n-1)与Bn的大小

Question

an=n^2 令bn＝1-1/a(n+1) Bn=b1b2……bn 比较n/3^(n-1)与Bn的大小

Answer 1

bn=1-1/an+1=1-1/(n+1)^2=[(n+1)^2-1]/(n+1)^2=n(n+2)/(n+1)^2
Bn=b1b2...bn=1*3/2^2 * 2*4/3^2 ...n*(n+2)/(n+1)^2 = (n+2)/2(n+1)
比较n/3^(n-1)和(n+2)/2(n+1)
第一项n/3^(n-1)=1比(n+2)/2(n+1)=3/4大
第二项n/3^(n-1)=2/3和(n+2)/2(n+1)=2/3相同
第三项及以后n/3^(n-1)小于(n+2)/2(n+1)
使用数学归纳法证明,假设n/3^(n-1)小于(n+2)/2(n+1)
由此有 2n(n+1)=2n^2+2n