（2012•海南）图（a）所示的xoy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xoy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示．当B为+B0时，磁感应强度方向指向纸外．

Question

（2012•海南）图（a）所示的xoy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xoy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示．当B为+B₀时，磁感应强度方向指向纸外．在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量恰好等于(2π)/(TB0)．不计重力．设P在某时刻t₀以某一初速度沿y轴正向O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A．
（1）若t₀=0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（2）若t₀=T/4，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（3）为了使直线OA与x轴的夹角为π/4，在0＜t₀＜π/4的范围内，t₀应取何值？

Answer 1

（1）设粒子P的质量、电荷量与初速度分别为m、q与v，粒子P在洛仑兹力作用下，在xy平面内做圆周运动，分别用R与T′表示圆周的半径和运动周期，则有：
qvB0=mR(4π2)/(T′2)
v=(2πR)/(T′)
由①②式与已知条件得
T′=T
粒子P在t=0到t=(T)/(2)时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达x轴上B点，此时磁场方向反转；继而，在t=(T)/(2)到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达x轴上A，如图（a）所示．

OA与x轴的夹角θ=0       ④
（2）粒子P在t0=(T)/(4)时刻开始运动，在t=(T)/(4)到t=(T)/(2)时间内，沿顺时针方向运动(1)/(4)个圆周，到达D点，此时磁场方向反转；继而，在t=(T)/(2)到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=(5T)/(4)时间内，沿顺时针方向运动(1)/(4)个圆周，到达A点，如图（b）所示，

由几何关系可知，A点在y轴上，即OA与x轴的夹角 θ=(π)/(2)  ⑤
（3）若在任意时刻t=t₀（0＜t0＜(T)/(4)）粒子P开始运动，在t=t₀到t=(T)/(2)时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达C点，圆心O′位于x轴上，圆弧OC对应的圆心角为
∠OO′C=(2π)/(T)((T)/(2)-t0)    ⑥
此时磁场方向反转；继而，在t=(T)/(2)到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=T+t₀时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达A点，设圆O″，圆弧BA对应的圆心角为∠BO″A=(2π)/(T)t0      ⑦
如图（c）所示，

由几何关系可知，C、B均在O′O″连线上，且OA∥O′O″⑧
若要OA与x轴成(π)/(4)角，则有 ∠OO′C=(3π)/(4)   ⑨，联立⑥⑨式可得
   t

作业帮用户 2017-10-19