设随机变量X的概率密度为f（x）=2x，a＜x＜b0，其他，且EX2=1．（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求P{|x|＜1}．

Question

设随机变量X的概率密度为f（x）=

2x，  a＜x＜b

0，  其他

，且EX²=1．
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求P{|x|＜1}．

Answer 1

（Ⅰ）
由

∫

+∞ −∞

f(x)dx＝1，得：

∫

b a

2xdx＝b2−a2＝1，
又：EX2＝

∫

b a

x2•2xdx＝

∫

b a

2x3dx＝(1)/(2)(b4−a4)＝1，
从而解得：a2＝(1)/(2)，b2＝(3)/(2)，
即：a＝±(√(2))/(2)，b＝±(√(6))/(2)
由于a＜b，
∴(a，b)＝(−(√(2))/(2)，(√(6))/(2))，(a，b)＝((√(2))/(2)，(√(6))/(2))．

（Ⅱ）
由（Ⅰ）
①当a＝−(√(2))/(2)，b＝(√(6))/(2)时，P{|x|＜1}=

∫	1 −(√(2))/(2)

2xdx＝1−(1)/(2)＝(1)/(2)，
②当a＝(√(2))/(2)，b＝(√(6))/(2)时，P{|x|＜1}=

∫	1 (√(2))/(2)

2xdx＝1−(1)/(2)＝(1)/(2)．