设f（x）单调增加，存在连续导数，f（0）=0，f（a）=b，g（x）与f（x）互为反函数．证明：∫a0f（x）dx+∫b0g（x）dx=ab．

Question

设f（x）单调增加，存在连续导数，f（0）=0，f（a）=b，g（x）与f（x）互为反函数．
证明：

∫

a 0

f（x）dx+

∫

b 0

g（x）dx=ab．

Answer 1

证明：设辅助函数F(x)＝

∫

x 0

f(t)dt+

∫

f(x) 0

g(t)dt−xf(x)．
因为F'（x）=f（x）+g[f（x）]f'（x）-f（x）-xf'（x）=0，
所以F（x）=C．
又 C=F（0）=0，
故 F（x）=0，F（a）=0．
又f（a）=b，
因此   

∫

a 0

f(x)dx+

∫

b 0

g(x)dx＝ab．
所以得证．