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(2013•镇江一模)一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖
题目详情
(2013•镇江一模)一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的
分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的
分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的
分给第n(n=1,2,3,…k)个小朋友.如果设分给第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.
(1)当k=3,a0=12时,分别求a1,a2,a3;
(2)请用an-1表示an;令bn=(n+1)an,求数列{bn}的通项公式;
(3)是否存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,如果存在,请求出所有的k和a0,如果不存在,请说明理由.
1 |
2 |
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3 |
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n+1 |
(1)当k=3,a0=12时,分别求a1,a2,a3;
(2)请用an-1表示an;令bn=(n+1)an,求数列{bn}的通项公式;
(3)是否存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,如果存在,请求出所有的k和a0,如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)当k=3,a0=12时,
a1=(a0+2)-
(a0+2)=7,
a2=(a1+2)-
(a1+2)=6,
a3=(a2+2)-
(a0+2)=6,
(2)由题意知:an=(an-1+2)-
(an-1+2)=
(an-1+2),
即(n+1)an=n(an-1+2)=nan-1+2n,
∵bn=(n+1)an,
∴bn-bn-1=2n,
∴bn-1-bn-2=2n-2,
…
b1-b0=2,
累加得bn-b0=
n=n(n+1)
又∵b0=a0,
∴bn=n(n+1)+a0,
(3)由bn=n(n+1)+a0,得an=n+
,
若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,
则a1+a3=2a2
即(1+
a0)+3+
a0=2(2+
a0)
∴a0=0
即当a0=0时,an=n,对任意正整数k(k≥3),有{an}(n≤k)成等差数列.
a1=(a0+2)-
1 |
2 |
a2=(a1+2)-
1 |
3 |
a3=(a2+2)-
1 |
4 |
(2)由题意知:an=(an-1+2)-
1 |
n+1 |
n |
n+1 |
即(n+1)an=n(an-1+2)=nan-1+2n,
∵bn=(n+1)an,
∴bn-bn-1=2n,
∴bn-1-bn-2=2n-2,
…
b1-b0=2,
累加得bn-b0=
(2+2n) |
2 |
又∵b0=a0,
∴bn=n(n+1)+a0,
(3)由bn=n(n+1)+a0,得an=n+
a0 |
n+1 |
若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,
则a1+a3=2a2
即(1+
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
3 |
∴a0=0
即当a0=0时,an=n,对任意正整数k(k≥3),有{an}(n≤k)成等差数列.
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