要具体解题过程,写具体过程的才给最佳.已知a0+(1/2)a1+(1/3)a2+...+[1/(n+1)]=0,求证a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0在（0,1）内至少有一个实根

Question

要具体解题过程,写具体过程的才给最佳.
已知a0+(1/2)a1+(1/3)a2+...+[1/(n+1)]=0,求证a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0在（0,1）内至少有一个实根

Answer 1

令f(x)=a0x+a1x^2/2+...anx^(n+1)/(n+1)
f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理在(0,1)上存在一点c
f'(c)=0
所以
a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0在（0,1）内至少有一个实根