平面上有有限个红点,不全在一条直线上,证明：存在一条直线,恰好只过其中两个点.

Question

平面上有有限个红点,不全在一条直线上,证明：存在一条直线,恰好只过其中两个点.

Answer 1

证明:此题被称为Sylvester问题.
这平面上的有限个点的集合记为$P$,其个数为$n$.因为$P$中的点不在同一直线上,所以$n\ge 3$.由于$n$有限,所以通过$P$中点中两个点或两个以上点的直线必为有限条,所有这些直线构成的集合记为$L$.对于$L$中每条直线,其外必有$P$中的一些点.因此集合$R=\{(p,l)|l\in L,p\not\in l,p\in P\}$不为空,且元素个数有限.记$d^*=\min\{\mathrm{dist}(p,l)|(x,l)\in R\}$,相应的点和直线分别为$p^*$和$l^*$(如果有多组则任取一组),其中$\mathrm{dist}(p,l)$ 表示点$p$到直线$l$的距离.如果$l^*$恰好经过$P$中的两点,那么结论得证.否则,从点$p^*$向直线$l^*$引垂线,垂足记为$p_1$.根据抽屉原则,直线$l^*$ 上在$p_1$的某一侧必含有$P$中的两个点,按离$p_1$的距离由小到大依次记为$p_2$和$p_3$($p_1$和$p_2$可能重合).则有
\begin{align*}
\mathrm{dist}(p_2,p^*p_3)\leq\mathrm{dist}(p_1,p^*p_3)