已知实数等比数列{an}满足a1+a6=11,且a3a4=32/9.求数列{an}的通项公式；（2）如果至少存在一个自然数m,恰使（2/3）am-1,am＾2,am+1+(4/9)这三个数依次成等差数列,问这样的实数等比数列{an}是否存在?

Question

已知实数等比数列{an}满足a1+a6=11,且a3a4=32/9. 求数列{an}的通项公式；（
2）如果至少存在一个
自然数m,恰使（2/3）am-1,am＾2,am+1+(4/9)这三个数
依次成等差数列,问这样的实数等比数列{an}是否存在?
这两问是连着的不.

Answer 1

(1) ∵ A1+A6=11,A3A4=A1A6=32/9,∴ A1,A6是方程x^-11x+(32/9)=0的2个根,∴ ① A1=32/3,A6=1/3或 ② A1=1/3,A6=32/3
若①则q=1/2,若②则q=2,∴ ① An=(64/3)·(1/2)^n或② An=(1/6)·2^n
(2) 假设实数等比数列{An}存在.则2(Am)^=(2/3)A(m-1)+A(m+1)+4/9,
① An=(64/3)·(1/2)^n时,2×[(64/3)·(1/2)^m]^=(64/3)·(1/2)^(m-1)+(64/3)·(1/2)^(m+1)+4/9,设(1/2)^m=t,则2048t^-254t-1=0,它的判别式△=72708不是完全平方数,∴ t不是有理数,从而m不是自然数.
② An=(1/6)·2^n时,2×[(1/6)·2^m]^=(2/3)×(1/6)·2^(m-1)+(1/6)·2^(m+1)+4/9,设2^m=t>0,则t^-7t-8=0,∴ t=8,从而m=3.
综上所述,存在满足题意的自然数m=3.