已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m+4n的最小值为（）A.32B.53C.94D.256

Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得√(aman)＝4a1，则(1)/(m)+(4)/(n)的最小值为（　　）
A. (3)/(2)
B. (5)/(3)
C. (9)/(4)
D. (25)/(6)

Answer 1

由各项均为正数的等比数列{a_n}满足 a₇=a₆+2a₅，可得 a1q6＝a1q5+2a1q4，∴q²-q-2=0，∴q=2．
∵√(aman)＝4a1，∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=2⁴，∴m+n=6，
∴(1)/(m)+(4)/(n)＝(1)/(6)(m+n)((1)/(m)+(4)/(n))＝(1)/(6)(5+(n)/(m)+(4m)/(n))≥(1)/(6)(5+4)＝(3)/(2)，当且仅当 (n)/(m)=(4m)/(n)时，等号成立．
故 (1)/(m)+(4)/(n)的最小值等于 (3)/(2)，
故选A．