已知an是等差数列,bn使各项都是正数的等比数列,a1=b1=1,a3=b5=21,a5=b3=13（1）求通项公式{an},{bn}(2)若cn=an/bn,求数列{cn}的前n项和Sn

Question

已知an是等差数列,bn使各项都是正数的等比数列,a1=b1=1,a3=b5=21,a5=b3=1
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（1）求通项公式{an},{bn}
( 2 )若cn=an/bn ,求数列{cn}的前n项和Sn

Answer 1

(1)
因为a3+b5=21,a5+b3=13,{an}是等差数列,{bn}是等比数列
所以a1+2d+b1*q^4=21,a1+4d+b1*q^2=13
因为a1=b1=1
所以2d+q^4=20,4d+q^2=12
2d+q^4=20方程乘以2得4d+2*q^4=40
用4d+2*q^4=40减去4d+q^2=12得2*q^4-q^2-28=0即(2*q^2+7)*(q^2-4)=0
所以2*q^2=-7或q^2=4
当2*q^2=-7时q^2=-3.5(不符合,舍去)
当q^2=4时q=2或-2
因为bn}是各项都为正数的等比数列
所以q=2
综上所述得q=2
带入4d+q^2得d=2
所以 an=2n-1
bn=2^(n-1)
(2)
an/bn=(2n-1)/2^(n-1) 叠加
a1/b1=1
a2/b2=3/2
……
sn=1+3/2+5/4+7/8+……(2n-1)/2^(n-1).(1)
2sn=2+3+……+(2n-1)/2^(n-2).（2)
(2)-(1),得 sn=6-(4n+6)/(2^n)
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