已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},B=｛a1²,a2²,a3²,a4²｝其中a1＜a2＜a3＜a4,若A∩B=｛a1,a2｝,且a1+a2=10,A∪B的所有元素之和是124,求集合A和集合B.

Question

已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},B=｛a1²,a2²,a3²,a4²｝其中a1＜a2＜a3＜a4,若A∩B=｛a1,a2｝,且a1+a2=10,A∪B的所有元素之和是124,求集合A和集合B.

Answer 1

已知A={a1,a2,a3,a4},B={a1^2,a2^2,a3^2,a4^2},其中a1＜a2＜a3＜a4,a1,a2,a3,a4∈N,若A∩B={a1,a4},a1+a4=10,且A∪B所有元素和为124,求集合A和B．
由a1＜a2＜a3＜a4,A∩B={a1,a4},可知a1=a1^2,∴a1=1
∵a1+a4=10,∴a4=9,
若a2^2=9,a2=3,则有（1+3+a^3+9）+（a3^2+81）=124
解得a3=5,（a3=-6舍去）
∴A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}．
若a3^2=9,a3=3,此时只能有a2=2,
则A∪B中所有元素和为：1+2+3+4+9+81≠124,
∴不合题意．
于是,A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}．