已知函数f(x)=x/(1+x²）(1)证明函数在[0,1]上是单调函数；（2）求函数在[-1,1]上的最值

Question

已知函数f(x)=x/(1+x²） (1)证明函数在[0,1]上是单调函数；（2）求函数在[-1,1]上的最值

Answer 1

解1设x1,x2属于(0,1),且x1＜x2
故f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[x1+x1x2^2-x21-x2x1^2]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)+x1x2（x2-x1）]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)(1-x1x2）]/(1+x1^2)(1+x2^2)
由x1＜x2,知x1-x2＜0
又由x1,x2属于(0,1),
知1-x1x2＞0
即[(x1-x2)(1-x1x2）]/(1+x1^2)(1+x2^2)＜0
即f(x1)-f(x2)＜0
即函数在[0,1]上是单调递增函数
2由f(x)=x/(1+x²）
知f(-x)=(-x)/(1+(-x)²）=-x/(1+x^2)=-f(x)
知f（x）是奇函数
又由函数f(x)在[0,1]上是单调递增函数
知函数f(x)在[-1,1]上是单调递增函数
知当x=1时,y有最大值f（1）=1/2
当x=-1时,y有最大值f（-1）=-1/2