已知a,b,c是互不相等的正数,求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

Question

已知a,b,c是互不相等的正数,求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

Answer 1

【注：用柯西不等式证明】
证明：
【1】
易知,2(a+b+c)
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)].
【2】
由题设及柯西不等式可得：
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]×[2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)]
≥(√2+√2+√2)²=18.
整理即得：
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)≥9/(a+b+c).
等号仅当a+b=b+c=c+a时取得,但a,b,c互不相等.
故其中的等号不能取得.
∴原不等式成立.