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求积分x^3arccosxdx/(1-x^2)^1/2
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求积分x^3arccosxdx/(1-x^2)^1/2
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答案和解析
分部积分法：
令x=cosφ,∫ (x³)/√(1-x²)dx=∫cos³φ/sinφdcosφ=∫ -cos³φdφ=∫-cos²φdcosφ=∫sin²φ-1dsinφ
=(1/3)sin³φ-sinφ+c=(1/3)sinφ(-coφ)+c=-(1/3)√(1-x²)x²+c
∫ (x³arccosx)/√(1-x²)dx=∫ arccosxd(-(1/3)√(1-x²)x²)=-(1/3)√(1-x²)x²arccosx+∫[√(1-x²)]x²/[3√(1-x²)]dx
=-(1/3)√(1-x²)x²arccosx+x³
令x=cosφ,∫ (x³)/√(1-x²)dx=∫cos³φ/sinφdcosφ=∫ -cos³φdφ=∫-cos²φdcosφ=∫sin²φ-1dsinφ
=(1/3)sin³φ-sinφ+c=(1/3)sinφ(-coφ)+c=-(1/3)√(1-x²)x²+c
∫ (x³arccosx)/√(1-x²)dx=∫ arccosxd(-(1/3)√(1-x²)x²)=-(1/3)√(1-x²)x²arccosx+∫[√(1-x²)]x²/[3√(1-x²)]dx
=-(1/3)√(1-x²)x²arccosx+x³
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