已知函数f（x）=lnx2+12，g（x）=ex-2，若g（m）=f（n）成立，则n-m的最小值为（）A.1-ln2B.ln2C.2e-3D.e2-3

Question

已知函数f（x）=ln

(x)/(2)+(1)/(2)，g（x）=e^x-2，若g（m）=f（n）成立，则n-m的最小值为（　　）

A. 1-ln2

B. ln2

C. 2

√(e)-3

D. e²-3

Answer 1

不妨设g（m）=f（n）=t，
∴e^m-2=ln(n)/(2)+(1)/(2)=t，（t>0）
∴m-2=lnt，m=2+lnt，n=2•e t-(1)/(2)，
故n-m=2•e t-(1)/(2)-2-lnt，（t>0）
令h（t）=2•e t-(1)/(2)-2-lnt，（t>0），
h′（t）=2•e t-(1)/(2)-(1)/(t)，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（(1)/(2)）=0，
当t>(1)/(2)时，h′（t）>0，
当0<t<(1)/(2)时，h′（t）<0，
即当t=(1)/(2)时，h（t）取得极小值同时也是最小值，
此时h（(1)/(2)）=2•e (1)/(2)-(1)/(2)-2-ln(1)/(2)=2-2+ln2=ln2，即n-m的最小值为ln2；
故选：B