用二项式定理证明当n大于等于5时,2^n>n^2

Question

用二项式定理证明当n大于等于5时,2^n>n^2

Answer 1

证明：因为 n≥5,
所以 n-2 ≥3.
所以 由二项式定理,
2^(n-2)
=(1 +1)^(n-2)
=1 +(n-2) +(n-2) (n-3) /2 +...
>(n-1) +(n-2) (n-3) /2.
所以 2^n -n^2
=4 *2^(n-2) -n^2
>4(n-1) +2 (n-2)(n-3) -n^2
= n^2 -6n +8
= (n-3)^2 -1.
又因为 f(n) =(n-3)^2 -1 在 n>3 时,单调递增,
所以 当 n≥5 时,f(n) ≥ f(5) =3 >0.
即 2^n -n^2 >0,(n≥5),
即 2^n >n^2,(n≥5).
= = = = = = = = =
放缩法.
注意：
(1 +1)^n >1 +n +n (n-1) /2,做不出来.
(1 +1)^(n-1) >1 +(n-1) +(n-1) (n-2) /2 ,也做不出来.
只能用 (1 +1)^(n-2) 了.
n-2 ≥3,
说明 (1 +1)^(n-2) 的展开式至少有4项.