在数列{an}中，Sn为其前n项和．已知4an=1+2Sn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请

Question

在数列{a_n}中，S_n为其前n项和．已知4a_n=1+2S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁•a₄•a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在等差数列{b_n}，使得对任意的n∈N^*，都有b₁•a_n+b₂•a_n-1+b₃•a_n-2+…+b_n-1•a₂+b_n•a₁=2ⁿ-(n)/(2)-1？若存在，试求出{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵4a_n=1+2S_n（n∈N^*），
∴4a_n-1=2a_n．∴(an)/(an−1)=2，
又4a₁=1+2a₁，解得a₁=(1)/(2)，
∴an＝(1)/(2)•2n−1=2^n-2．
（2）由（1）知，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=(1)/(2)×2²×2⁵×…×2^3n-4=2(n(3n+5))/(2)，
a₇₈=2⁷⁶，
∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等价于2(n(3n+5))/(2)＞2⁷⁶，
∴(n(3n+5))/(2)＞76，解得n＜-(19)/(3)或n＞8，
故存在最小值为8的M，使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立．
（3）设存在数列{b_n}是等差数列，其通项为b_n=kn+b，则
∵b₁•a_n+b₂•a_n-1+b₃•a_n-2+…+b_n-1•a₂+b_n•a₁=2ⁿ-(n)/(2)-1，
∴b₁•2^n-1+b₂•2^n-2+…+2b_n-1+bn＝2n+1−n+2，
两式相减可得b₁•2^n-1+k（2^n-2+2^n-3+…+1）-(1)/(2)b_n=2n−(n)/(2)−1，
∴（k+(b)/(2)）-2ⁿ-(b)/(2)n-（k+(b)/(2)）=2n−(n)/(2)−1
∴√(k+相关问答两辆轿车同时从相距535.5千米的甲乙两个城市相向某城市的出租车在3公里以内收费6元.超过3公里后每两辆轿车同时从相距535.5千米的两个城市相向而行(2)找规律-6,6,-30,78…写出这组数的规三极管技术手册中放大倍数：D64-91E78-11两道统计计算题谁帮忙解一下谢了第一题：商品种类：甲第一道：16x-16*0.6x=384-64要一步1.（x-3y+1）（x+3y-1）2.（1/2×有不少于5个的连续非零自然数的和为2613，则最小稀土元素是一类有重要用途的资源．硒（Se）是一种常求帮助计算下列货币的远期套算汇率。即期汇率USD/下列等式中a与b成反比例的是（）A.6×a=b11首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)