求数学题如果你采用分期付款的方式购买一台电视机,期限36个月,每月底支付400元,年利率7%.那么你能购买一台价值多少钱的电视机?[400/(0.07/12)]*[1-1/(1+0.07/12)^36]=12954.59这个是怎么算的什么意

Question

求数学题
如果你采用分期付款的方式购买一台电视机,期限36个月,每月底支付400元,年利率7%.那么你能购买一台价值多少钱的电视机?
[400/(0.07/12)]*[1-1/(1+0.07/12)^36] = 12954.59
这个是怎么算的 什么意思

Answer 1

先不管那个式子,咱们一点一点分析.
一年7%,所以一个月的利息是0.07/12.这个能理解吧?
如果一直不还,到了第36个月才还的话,总的本息之和是：贷款本金×(1+0.07/12)^36.这个也能理解吧?
那么现在的问题是,因为每个月还了400,所以欠的贷款本金和利息每个月都在减少.减少多少呢?我们反推一下
第一个月月底,我需要还的钱总额是：贷款本金×(1+0.07/12)
第二个月底却是[贷款本金×(1+0.07/12)-400]*(1+0.07/12)=（上个月需还款-400）×(1+0.07/12)
第三个月第还剩{[贷款本金×(1+0.07/12)-400]*(1+0.07/12)-400}×(1+0.07/12)
为了写起来简单点,我们用a=1+0.07/12,
所以第36个月底应该还剩下：(…(((贷款本金×a-400)*a-400)×a-400)…×a-400)×a（36个a,35个400）而这个月也应该最后还上400就还完了.所以(…(((贷款本金×a-400)*a-400)×a-400)…×a-400)×a（36个a,35个400）=400

这个方程里,贷款本金是待求的未知数,剩下都已知了.不过硬解有点可怕,所以还是需要一点数学技巧,我们把式子完全展开,不难得到
贷款本金×a^36-400（a^35+a^34+…+a^4+a^3+a^2+a+1）=0
→贷款本金×a^36=400×（a^36-1)/a-1
→贷款本金=400/(a-1)×（a^36-1)/a^36
→贷款本金=400/(a-1)×(1-1/(a^36))
→贷款本金=[400/(0.07/12)]*[1-1/(1+0.07/12)^36]=12954.59

就是这么回事……