如图，在△ABC中，以AB为直径的O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若O的半径为5，∠CDF=30°，求BD的长（结果保留π）．

Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的 O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作 O的切线交边AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；
（2）若 O的半径为5，∠CDF=30°，求

BD

的长（结果保留π）．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图所示．

∵DF是 O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2） ∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴

BD

的长=(nπR)/(180)=(60π×5)/(180)=(5)/(3)π．