如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2-45x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），

Question

如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=(1)/(10)x²-(4)/(5)x+3的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F₁的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F₂对应函数的二次项系数始终为(1)/(4)，设MN离AB的距离为m，抛物线F₂的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵a=(1)/(10)>0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=(1)/(10)x²-(4)/(5)x+3=(1)/(10)（x-4）²+(7)/(5)，
∴绳子最低点离地面的距离为：(7)/(5)m；

（2）由（1）可知，BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F₁的顶点坐标为：（2，1.8），
设F₁的解析式为：y=a（x-2）²+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F₁为：y=0.3（x-2）²+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F₂的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F₂的顶点坐标为：（(1)/(2)m+4，k），
∴抛物线F₂的解析式为：y=(1)/(4)（x-(1)/(2)m-4）²+k，
把C（8，3）代入得：(1)/(4)（4-(1)/(2)m-4）²+k=3，
解得：k=-(1)/(4)（4-(1)/(2)m）²+3，
∴k=-(1)/(16)（m-8）²+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m<8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，-(1)/(16)（m-8）²+3=2，
解得：m₁=4，m₂=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，-(1)/(16)（m-8）²+3=2.5，
解得：m₁8-2√(2)4，m₂=8+2√(2)（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8-2√(2)．