如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=54，OD′=22，求五棱锥D′-ABCFE体

Question

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=(5)/(4)，OD′=2√(2)，求五棱锥D′-ABCFE体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD，
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，
则D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=(5)/(4)，AD=AB=5，
∴DE=5-(5)/(4)=(15)/(4)，
∵EF∥AC，
∴(DE)/(AD)=(EH)/(AO)=(DH)/(OD)=((15)/(4))/(5)=(3)/(4)，
∴EH=(9)/(4)，EF=2EH=(9)/(2)，DH=3，OH=4-3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2√(2)，
∴满足HD′²=OD′²+OH²，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′-ABCFE的高．
底面五边形的面积S=(1)/(2)×AC•OB+((EF+AC)•OH)/(2)=(1)/(2)×6×4+(((9)/(2)+6)×1)/(2)=12+(21)/(4)=(69)/(4)，
则五棱锥D′-ABCFE体积V=(1)/(3)S•OD′=(1)/(3)×(69)/(4)×2√(2)=(23√(2))/(2)．