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求1/(x+根号下x^2-1)^n的积分
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求1/(x+根号下x^2-1)^n的积分
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答案和解析
设t=x+√(x²-1),则x=(t²+1)/(2t) dx=d(t/2+1/(2t))=(1/2-1/(2t²))dt
原式=∫1/t^n *(1/2-1/(2t²))dt
=1/2∫[t^(-n)-t^(-n-2)]dt
=1/2[1/(1-n) * t^(1-n)+ 1/(n+1)*t^(-n-1)]
=1/2[1/(1-n) * (x+√(x²-1))^(1-n)+ 1/(n+1)*(x+√(x²-1))^(-n-1)]+C
原式=∫1/t^n *(1/2-1/(2t²))dt
=1/2∫[t^(-n)-t^(-n-2)]dt
=1/2[1/(1-n) * t^(1-n)+ 1/(n+1)*t^(-n-1)]
=1/2[1/(1-n) * (x+√(x²-1))^(1-n)+ 1/(n+1)*(x+√(x²-1))^(-n-1)]+C
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