已知f(x)=x(x+1)(2x+1)(3x+1).(nx+1),求f'(0)和f'(1),

Question

已知f(x)=x(x+1)(2x+1)(3x+1).(nx+1),求f'(0)和f'(1),

Answer 1

f'(x)=lim[f(x+△x)-f(x)]/△x △x---0
这是导数的定义.
f'(0)=lim[f(△x)-f(0)]/△x △x---0
f'(0)=limf(△x)/△x △x0
=lim(1*1*1*...1)
=1
第二问：还是要完全得导数才行：
lnf(x)=lnx+ln(x+1)+ln(2x+1)+ln(3x+1).ln(nx+1) 这里x=1肯定可取对数.
两边求导：
1/f(x)*f'(x)=1/x+1/(x+1)+2/(2x+1)+...+n/(nx+1)=g(x)
f'(x)=f(x)g(x)
f'(1)=f(1)g(1)=(n+1)!(1+1/2+2/3+.+n/(n+1)) 真是超级大的数.
验证：n=2时.
f(x)=x^2+x f'(x)=2x+1 f'(1)=3
而f'(1)=f(1)g(1)=2!(1+1/2)=2*3/2=3 所以答案是正确的.