粮食储存仓库常常需要利用倾斜的传送带将装满粮食的麻袋运送到高处，如图所示．已知某仓库的传送带长度为15m，与水平面的夹角为30°，在电动机的带动下，传送带以2.5m/s的恒定速率向斜

Question

粮食储存仓库常常需要利用倾斜的传送带将装满粮食的麻袋运送到高处，如图所示．已知某仓库的传送带长度为15m，与水平面的夹角为30°，在电动机的带动下，传送带以2.5m/s的恒定速率向斜上方运送麻袋．设每个麻袋的总质量为80kg，与传送带的动摩擦因数为(√(3))/(2)，传送带的移动速率保持不变，每个麻袋放置传送带最底端时初速度为0（g取10m/s²）．
（1）每一个麻袋从传送带最底端运送到顶端所用时间为多少？
（2）传送带对每个麻袋做的功为多少？
（3）若每2s放一个麻袋则在开始传送后4.5s时电动机对传送带的功率是多少？

Answer 1

（1）由牛顿第二定律得
μmgcosθ-mgsinθ=ma
得a=g（μcosθsinθ）
代入解得a=2.5m/s²
设麻袋从放到传送带上到速度与传送带相同所经历的时间为t₁，则有v=at₁，
得t1＝(v)/(a)＝(2.5)/(2.5)s＝1s．
麻袋匀加速运动的位移为x1＝(1)/(2)at12＝(1)/(2)×2.5×1m=1.25m，
麻袋匀速运动的位移x₂=L-x₁=13.75m
匀速运动的时间t2＝(x2)/(v)＝(13.75)/(2.5)s＝5.5s，
所以每一个麻袋从传送带最底端运送到顶端所用时间为
t=t₁+t₂=6.5s
（2）麻袋从底端到顶端的过程，根据动能定理得
W-mgLsin30°=(1)/(2)mv2
传送带对每个麻袋做的功为W=mgLsin30°+(1)/(2)mv2，
代入数据解得W=6250J．
（3）若每2s放一个麻袋，则4.5s内传送带上有3个麻袋，前两个麻袋都达到传送带的速度．
第一个麻袋的上升的高度h₁=x₁+vt₁′=1.25+2.5×3.5m=10m，
第二个麻袋上升的高度h₂=x₁+vt₂′=1.25×2.5×1.5m=5m，
第三个麻袋上升的h3＝(1)/(2)at32＝(1)/(2)×2.5×0．52＝0.3125m，速度v₃=at₃=2.5×0.5m/s=1.25m/s．
根据能量守恒知，电动机在4.5s内做功的大小W=mg(h1+h2+h3)+(1)/(2)mv2×2+(1)/(2)mv32，
则功率P=(W)/(t)，
代入数据解得P=2792W．
答：（1）每一个麻袋从传送带最底端运送到顶端所用时间为6.5s．
（2）传送带对每个麻袋做的功为6250J．
（3）若每2s放一个麻袋则在开始传送后4.5s时电动机对传送带的功率是2792W．