观察下列各式：1×12＝1−12；12×3＝12−13；13×4＝13−14；…（1）猜想它的规律，把1n×(n+1)（n为正整数）表示出来．（2）用你得到的规律，计算：12+16+112+…+1n(n+1)，并求出当n=24时代数式的值

Question

观察下列各式：1×(1)/(2)＝1−(1)/(2)；(1)/(2×3)＝(1)/(2)−(1)/(3)；(1)/(3×4)＝(1)/(3)−(1)/(4)；…
（1）猜想它的规律，把(1)/(n×(n+1))（n为正整数）表示出来．
（2）用你得到的规律，计算：(1)/(2)+(1)/(6)+(1)/(12)+…+(1)/(n(n+1))，并求出当n=24时代数式的值．

Answer 1

（1）根据题意得：(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n+1)；
（2）利用规律得：
(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+…+(1)/(n(n+1))
=1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+…+(1)/(n)-(1)/(n+1)
=1-(1)/(n+1)
=(n)/(n+1)，
当n=24时，原式=(24)/(25)．