如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向前进了40m以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB=a，a的最大值为30°，求塔的高．

Question

如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西
60°的方向前进了40m以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已
知沿途塔的仰角∠AEB=a，a的最大值为30°，求塔的高．

Answer 1

由题意知，在△DBC中，∠BCD=30°，∠DBC=180°-45°=135°，CD=40，
则∠D=180°-135°-30°=15°，（2分）
由正弦定理得(CD)/(sin∠DBC)=(BC)/(sin∠D)，
∴BC=(CD•sin∠D)/(sin∠DBC)=(40×sin15°)/(sin135°)=(40×(√(6)−√(2))/(4))/((√(2))/(2))=(20(√(6)−√(2)))/(√(2))，（5分）
在Rt△ABE中，tanα=(AB)/(BE)，（6分）
∵AB为定长，
∴当BE的长最小时，α取最大值30°，这时BE⊥CD，（8分）
当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，sin∠BCD=(BE)/(BC)，
∴BE=BC•sin∠BCD，（9分）
∴AB=BE•tan30°=BC•sin∠BCD•tan30°
=(20(√(6)−√(2)))/(√(2))•(1)/(2)•(√(3))/(3)=(10(3−√(3)))/(3)（m）（11分）
答：所求塔高为=(10(3−√(3)))/(3)m．（12分）