水渠横断面为等腰梯形,渠深为h,梯形面积为S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和L达到最小,此时梯形的下底角α应该是多少?

Question

水渠横断面为等腰梯形,渠深为h,梯形面积为S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和L达到最小,此时梯形的下底角α应该是多少?

Answer 1

设腰与下底的夹角为α,下底长为a,
则 S=(2a+2h*ctgα)h/2=ah+h^2*ctgα → a=S/h-h*ctgα
梯形两腰及下底边长之和 L =a+2h/sinα
=S/h-h*ctgα +2h/sinα
=s/h+h*(2/sinα-ctgα)
要使L最小时α的值,即为求 2/sinα-ctgα最小时的α值,
用作图法,或列表计算法可得
α=60°时 2/sinα-ctgα值最小 =√3= 1.732