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求最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三个数之和都为质数.今天晚上就要啊!
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求最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三个数之和都为质数.
今天晚上就要啊!
今天晚上就要啊!
▼优质解答
答案和解析
1,3,7,9满足题意.
下面证明不可能找到5个正整数满足题意.
用反正,假设可以,
那么考虑这五个数模3的余数.
如果有一个是0,那么就考虑其余四个,
这四个数放入三个抽屉,由题意不可能同时存在余1和余2这两种情况,
根据对称性不妨取余1这种情况,
那么这四个元素就应分配入余0和余1两个抽屉,
那么至少有一个抽屉有两个元素,加上之前那个元素,就是至少有一个抽屉中有三个元素,这三个数之和明显是合数,不可能.
那么就只能五个数中不存在余0的情况,这时五个元素放入余1余2两个抽屉,同样至少有一个抽屉中有三个元素,不可能.
综上,最多只能找到四个符合题意的正整数.
下面证明不可能找到5个正整数满足题意.
用反正,假设可以,
那么考虑这五个数模3的余数.
如果有一个是0,那么就考虑其余四个,
这四个数放入三个抽屉,由题意不可能同时存在余1和余2这两种情况,
根据对称性不妨取余1这种情况,
那么这四个元素就应分配入余0和余1两个抽屉,
那么至少有一个抽屉有两个元素,加上之前那个元素,就是至少有一个抽屉中有三个元素,这三个数之和明显是合数,不可能.
那么就只能五个数中不存在余0的情况,这时五个元素放入余1余2两个抽屉,同样至少有一个抽屉中有三个元素,不可能.
综上,最多只能找到四个符合题意的正整数.
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