（2013•徐州三模）已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC＝12r，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲

Question

（2013•徐州三模）已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC＝(1)/(2)r，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在

AB

上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

Answer 1

如图甲，

设∠DBC=α（0＜α＜(π)/(2)），
则BD＝(3r)/(2)cosα，DC＝(3r)/(2)sinα，
所以S△BDC＝(1)/(2)BD•DC＝(1)/(2)•(3r)/(2)cosα•(3r)/(2)sinα
=(9)/(16)r2sin2α≤(9)/(16)r2，
当且仅当α＝(π)/(4)时取等号，
此时点D到BC的距离为(3)/(4)r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，
因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为(9)/(16)r2．   
如图乙，

设∠EOD=θ，则OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以S△BDE＝(1)/(2)r2(1+cosθ)sinθ，θ∈[(π)/(3)，(π)/(2)]．
设f(θ)＝(1)/(2)r2(1+cosθ)sinθ，则f′(θ)＝(1)/(2)r2(1+cosθ)(2cosθ−1)，
当θ∈[(π)/(3)，(π)/(2)]时，f'（θ）≤0，所以θ＝(π)/(3)时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为(3√(3))/(8)r2． 
因为

3

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