与向量a=（7/2,1/2）,b（1/2,-7/2）的夹角相等,且模为1的向量是?

Question

与向量a=（7/2,1/2）,b（1/2,-7/2）的夹角相等,且模为1的向量是?

Answer 1

向量a=（7/2,1/2）,b（1/2,-7/2）的模 相等 （这个容易看出吧?）
因为2个模相等,所以 以原点为顶点,以两个向量为终点为顶点,3个顶点构成等腰三角形.
（其实是等腰直角三角形,但不需要了解到这么细致了）
因此与两个向量夹角相等的向量 与 该等腰三角形 的原点为顶点的角 的平分线重合.
该平分线与三角形底边的交点 是 底边的中点.所以该中点坐标为
x=(7/2 + 1/2)/2 = 4/2 = 2
y=(1/2 - 7/2)/2 = -3/2
因此所求向量可表达为 (2k,-3k/2),其中 k是待定常数
根据 该向量 模为1的要求,有
(2k)^2 + (-3k/2)^2 = 1
k^2 * (4 + 9/4) = 1
k^2 = 4/25
k= 2/5
(k = -2/5 舍去,因为该解是与 a b 向量的反向延长线夹角相等,而与 a b 夹角不等）
2k = 2*2/5 = 4/5
-3k/2 = -3/2 * 2/5 = -3/5
因此所求向量为 (-4/5,3/5)