（2014•黄山三模）已知三棱柱ABC-A1B1C1的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱CC1（不包含端点C、C1）上确定一点E的位置，

Question

（2014•黄山三模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

（Ⅰ）由三视图可知AB⊥侧面BB₁C₁C，
则AB⊥BC₁，
∵BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=(π)/(3)，
在△BC₁C中，由余弦定理得BC₁=√(3)，故有BC²+BC₁²=CC₁²，
∴C₁B⊥BC，
∵BC∩AB=B，且AB，BC⊂平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，
AE，AB⊂平面ABE，从而B₁E⊥平面ABE；且BE⊂平面ABE，
故B₁E⊥BE，设CE=x，则C₁E=2-x，
则BE²=1+x²-x，
∵∠B₁C₁C=(2π)/(3)，∴B₁E²=x²-5x+7，
Rt△BEB₁中，x²-5x+7+1+x²-x=4，解得x=1或x=2．
故E是CC₁的中点时，有EA⊥EB₁；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知S△ABC＝(1)/(2)BC•AB＝(1)/(2)×1×√(2)＝(√(2))/(2)，
由（Ⅰ）知C₁B⊥平面ABC，BC₁=√(3)，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V＝3VA−CBC1＝3×(1)/(3)S△CBC1•AB=(1)/(2)×2×1×sin(π)/(3)×√(2)＝

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