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（2012•松江区三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若过点F（1
题目详情
（2012•松江区三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求
•
的值；
（3）若曲线C上不同的两点M、N满足
•
＝0，求|
|的取值范围．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求
| OA |
| OB |
（3）若曲线C上不同的两点M、N满足
| OM |
| MN |
| ON |
▼优质解答
答案和解析
（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线
∵
＝1，∴p=2，
∴曲线C方程是y2=4x
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，由
，解得A（1，2），B（1，-2）
此时
•
＝1−4＝−3
当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由
得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，x1+x2＝
∴
•
∵
| p |
| 2 |
∴曲线C方程是y2=4x
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，由
|
此时
| OA |
| OB |
当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，x1+x2＝
| 2k2+4 |
| k2 |
∴
| OA |
|
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