（2014•徐州三模）在数列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．（1）当n=2，3时，分别求an2-an-1an+1的值，判断an2-an-1an+1是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得

Question

（2014•徐州三模）在数列{a_n}中，已知a₁=20，a₂=30，a_n+1=3a_n-a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）当n=2，3时，分别求a_n²-a_n-1a_n+1的值，判断a_n²-a_n-1a_n+1是否为定值，并给出证明；
（2）求出所有的正整数n，使得5a_n+1a_n+1为完全平方数．

Answer 1

（1）由已知得a₃=70，a₄=180．
所以n=2时，a_n²-a_n-1a_n+1=-500；当n=3时，a_n²-a_n-1a_n+1=-500．…（2分）
猜想：a_n²-a_n-1a_n+1=-500（n≥2）．    …（3分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，结论成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，结论成立，即a_k²-a_k-1a_k+1=-500，
将a_k-1=3a_k-a_k+1，代入上式，可得a_k²-3a_ka_k+1+a_k+1²=-500．
则当n=k+1时，a_k+1²-a_k+1a_k+2=a_k+1²-a_k（3a_k+1-a_k）=a_k+1²-3a_ka_k+1+a_k²=-500．
故当n=k+1结论成立，
根据①，②可得，a_n²-a_n-1a_n+1=-500（n≥2）成立．…（5分）
（2）将a_n-1=3a_n-a_n+1代入a_n²-a_n-1a_n+1=-500，得a_n²-3a_na_n+1+a_n+1²=-500，
则5a_n-1a_n+1=（a_n+a_n+1）²+500，5a_n-1a_n+1+1=（a_n+a_n+1）²+501，
设5a_n-1a_n+1+1=t²（t∈N^*），则t²-（a_n+a_n+1）²+501，
即[t-（a_n+a_n+1）][t+（a_n+a_n+1）]=501，…（7分）
又a_n+a_n+1∈N，且501=1×501=3×167，
故

an+an+1−t＝−1

an+an+1+t＝501

 或

an+an+1−t＝−3

an+an+1+t＝167

所以√(t＝251a相关问答一个质点O受到两个力作用,已知|向量OF1|=6牛过抛物线y^2=4x的焦点的直线依次交抛物线与圆（（2012•江苏三模）关于制作果酒和果醋实验的叙述（2014•永州三模）在△ABC中，sinA=51模电中Ri和Rin和Ro和Rout区别,怎么区分（2014•徐州三模）如图，在五面体ABCDEF中（2014•天津三模）如图：ABCD是平行四边形，（2014•荔城区三模）对于钝角α，定义它的三角函（2014•杨浦区三模）梯形ABCE中，AD∥BC（2012•松江区三模）在平面直角坐标系中，O为坐取模的计算规则例：10%5他的模是2但是5%10的大模大样的意思首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)