从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，

Question

从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．

（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（2）x为何值时，容积V有最大值．

Answer 1

由题意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x>0

2a-2x>0

(x)/(2a-2x)≤t

∴0<x≤(2at)/(1+2t)
∴函数V（x）=4（a-x）²•x的定义域为 (0，(2at)/(1+2t)]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得 x=(a)/(3)
（1）当 (a)/(3)≤(2at)/(1+2t)，即 t≥(1)/(4)时，
∵0<x<(a)/(3)时，V′>0．
V（x）为增函数； (a)/(3)<x≤(2at)/(1+2t)时，V′<0．V（x）为减函数；
∴V（x）在 (0，(2at)/(1+2t)]上有极大值V（ (a)/(3)），
∵x=(a)/(3)为唯一驻点，
∴当 x=(a)/(3)时，V有最大值 (16)/(27)a3．
（2）当 (a)/(3)>(2at)/(1+2t)，即 0<t<(1)/(4)时，
∵0<x<(2at)/(1+2t)时，V′>0恒成立；
∴V（x）为增函数；
∴当 x=(2at)/(1+2t)时，V有最大值 (8a3t)/((1+2t)3)．