当直线l：y=k（x-1）+2被圆C：（x-2）2+（y-1）2=5截得的弦最短时，则k=．

Question

当直线l：y=k（x-1）+2被圆C：（x-2）²+（y-1）²=5截得的弦最短时，则k=______．

Answer 1

圆C：（x-2）²+（y-1）²=5的圆心（2，1），半径为√(5)，
设圆心到直线l的距离为d，则 d=(|2k−1−k+2|)/(√(k2+(−1)2))=(|k+1|)/(√(k2+1))，
又设弦长为L，则（(L)/(2)）²+d²=r²，即  （(L)/(2)）²=5-((k+1)2)/(k2+1)=5-（1+(2k)/(k2+1)）=4-(2k)/(k2+1)≥3．
∴当k=1时，（(L)/(2)）²_min=3，
∴直线l：y=k（x-1）+2被圆C：（x-2）²+（y-1）²=5截得的弦最短时，则k=1．
故答案为：1．