程书上一道动力学题原题见力学篇P104第2题摘抄：在半径为r的不动的圆柱上缠着很轻的、不能拉伸的绳子绳子末端系一质点.开始时,绳子一直缠到底,质点靠在圆柱上.t=0时刻,在与柱面垂直

Question

程书上一道动力学题
原题见 力学篇 P104 第2题
摘抄：在半径为r的不动的圆柱上缠着很轻的、不能拉伸的绳子绳子末端系一质点.开始时,绳子一直缠到底,质点靠在圆柱上.t=0时刻,在与柱面垂直的方向,质点得到一个初速度v,缠着的绳子带着质点开始打开.假设,缠着的绳子不会沿圆柱滑动,打开的绳子在整个时间内都处在和圆柱轴垂直的平面内.试求绳子打开的长度和时间的关系.假设系统无重力作用.
希望各位高手能提供高等（使用微积分）和初等（不使用微积分）两种解法.

Answer 1

我错了 是圆柱不动
答案:l方=2rvt
绳子对质点的力永远垂直于速度方向,所以力是不做功的,所以速度大小不变,只改变方向.设打开部分长度为l,时间取无限小为（dt）,则有:
（da）=v（dt）/l [微分]
这里的(da)也很小,转出来的绳长为(dl),则
（dl）=r（da）
联立 l（dl）=rv（dt）
积分得 l方=2rvt