有长度均为L的砖块,每块砖压着下面的砖并且伸出一部分,当没有用水泥沾住并处于平衡状态时候,各块砖能伸出最大长度为多少?我知道第一块是L/2第二块是L/4.规律是L/2N.但我忘记如何证明了.

Question

有长度均为L的砖块,
每块砖压着下面的砖并且伸出一部分,
当没有用水泥沾住并处于平衡状态时候,
各块砖能伸出最大长度为多少?
我知道第一块是L/2 第二块是L/4.规律是L/2N.
但我忘记如何证明了.好象用力矩平衡来证明的.

Answer 1

最上面的一块砖,重心不能超出第二块的边缘,所以最大伸出长度
a1 = L/2
同时,质量 s1 = m
第二块,它和第一块一起,总质量 s2 = 2m
重心位置不能超过 L/2.而他们共同的重心位置是它自身重心位置和它上面所有砖中心位置,按质量加权平均.整体重心位置偏离第二块的重心距离：
l2 = s1*a1/s2 = a1/2 = L/4
它们整体能伸出第三块的距离
a2 = l2 = L/4
...
对第 n 块,有：
s(n) = nm
a(n) = l(n)= s(n-1)a(n-1)/s(n),l(n) = L/(2n-2)*(n-1)/n = L/2n
容易证明对于第 n+1 块,有：
s(n+1) = (n+1)m
a(n+1) = l(n+1) = nm*a(n)/(n+1)m = n*L/2n/(n+1) = L/2(n+1)
这样就用数学归纳发给出了严格证明