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如图1,已知正方形ABCD,把一个直角与正方形叠合,使直角顶点与一重合,当直角的一边与BC相交于E点,另一边与CD的延长线相交于F点时.(1)证明:BE=DF;(2)如图2,作∠EAF的平分线交CD
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如图1,已知正方形ABCD,把一个直角与正方形叠合,使直角顶点与一重合,当直角的一边与BC相交于E点,另一边与CD的延长线相交于F点时.
(1)证明:BE=DF;
(2)如图2,作∠EAF的平分线交CD于G点,连接EG.证明:BE+DG=EG;
(3)如图3,将图1中的“直角”改为“∠EAF=45°”,当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点,另一边与CD的延长线相交于F点,连接EF.线段BE,DF和EF之间有怎样的数量关系?并加以证明.
(1)证明:BE=DF;
(2)如图2,作∠EAF的平分线交CD于G点,连接EG.证明:BE+DG=EG;
(3)如图3,将图1中的“直角”改为“∠EAF=45°”,当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点,另一边与CD的延长线相交于F点,连接EF.线段BE,DF和EF之间有怎样的数量关系?并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,
∵∠EAF=90°,即∠EAD+∠FAD=90°,
而∠EAD+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠DAF,
在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴BE=DF;
(2)证明:∵△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∵∠EAF的平分线交CD于G点,
∴∠EAG=∠FAG,
在△AEG和△FAG中
,
∴△AEG≌△FAG(SAS),
∴GE=GF,
∵GF=DG+DF,
而BE=DF,
∴BE+DG=EG;
(3)BE=DF+EF.理由如下:
作AG⊥AF交BC于G点,如图3,
与(1)一样可证明△ABG≌△ADF,
∴BG=DF,AG=AF,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAG=90°-∠EAF=45°,
与(2)一样可证明△AEG≌△AEF,
∴EF=EG,
∵BE=BG+GE,
∴BE=DF+EF.
∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,
∵∠EAF=90°,即∠EAD+∠FAD=90°,
而∠EAD+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠DAF,
在△ABE和△ADF中,
|
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴BE=DF;
(2)证明:∵△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∵∠EAF的平分线交CD于G点,
∴∠EAG=∠FAG,
在△AEG和△FAG中
|
∴△AEG≌△FAG(SAS),
∴GE=GF,
∵GF=DG+DF,
而BE=DF,
∴BE+DG=EG;
(3)BE=DF+EF.理由如下:
作AG⊥AF交BC于G点,如图3,
与(1)一样可证明△ABG≌△ADF,
∴BG=DF,AG=AF,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAG=90°-∠EAF=45°,
与(2)一样可证明△AEG≌△AEF,
∴EF=EG,
∵BE=BG+GE,
∴BE=DF+EF.
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