完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上,每个足球的质量都是m,不考虑转动情况,1.下面每个球对地面的压力均为4/3mg2.下面每个球的受地面给的摩擦力均为根号2/6mg为什么对,

Question

完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上,每个足球的质量都是m,不考虑转动情况,
1.下面每个球对地面的压力均为4/3mg 2.下面每个球的受地面给的摩擦力均为根号2/6mg
为什么对,

Answer 1

先分析一下题目,由题意可知,这四个足球是下面三个呈正三角形排列,最后一个放在三个的中间.由于足球一模一样,所以四个足球的球心正好是可以组成正四面体,就如图中的四面体ABCD.



这个系统其实只要ABC三点与地面接触,而且由于对称性,所以三个点对地面所施加的压力是一模一样的,由于压力竖直向下,与整个系统的重力相平衡,所以每个压力的大小是（4mg）/3,即4/3mg
这一问有点复杂,先分析一下好了 由于常识,可以知道,如果地面的摩擦力很小,那么最上面的那个足球会掉下来,而下面那三个球也会分开,而题目中却处于平衡,说明摩擦力足够大能够维持系统平衡.
那么如图建立xyz坐标系,ABCD分别为四个球的球心,E为AB的中点,F为D在xAy平面的投影,
分析一下A,它受到地面的弹力（竖直向上）,自己的重力（竖直向下）,D球给的压力（方向沿着DA）,以及地面的摩擦力（方向是AF）,这四个力是相互平衡的.那么处于xAy平面上的力只有地面的摩擦力,与D球给的压力的水平分力（位于xAy平面上,也就是说平行于面xAy）则这个摩擦力的大小与D求给的压力的水平分力应该是大小相等,方向相反的.
继续分析,由牛顿第三定律,作用力与反作用力可知,D求给A求压力,那么同样A球也会给D球压力,那么分析一下D球,受到自己的重力,和ABC分别给的压力,而且平衡.那么A球给D球的压力的竖直分力应该等于mg/3,（这样三个竖直分力才能与重力平衡,而且这三个力大小是一样的---对称）
所以要求地面给的摩擦力 那么就求出来A给D的力的方向就行了-----------这样可以根据力的分解和已知的竖直分量求出水平分量,这个的大小就是地面给每个球的水平摩擦力了.
建立了坐标系,A是原点（0,0,0）,则B是（1,0,0）、E（1/2,0,0） F点为△ABC的中心,重心.则F坐标为（1/2,√3/6,0）(计算略了,很简单的) 那么D点就是在F点正上方 DF的长度就是F点的z坐标 在Rt△DEF里,DE是斜边 可以求出DF=√(2/3) 则F为（1/2,√3/6,√(2/3)）
AF就是（1/2,√3/6,√(2/3)） 它代表这力的方向和分量的大小比  在xAy平面上的分量比是
（1/2）^2+(√3/6)^=√3/3   竖直分量就是√(2/3)  
假设摩擦力为F,而竖直分量为mg/3  则有  F：mg/3=√3/3 ：√(2/3)  解之得 F=√2/6mg
又由于对称性,三个球ABC每个球受到摩擦力大小相等 则能得出来你说的下面每个球的受地面给的摩擦力均为根号2/6mg


       嗯,就是这样了.