证明:所有的绝对值为1的复数在乘法下构成一个群

Question

证明:所有的绝对值为1的复数在乘法下构成一个群

Answer 1

让我回忆一下,什么叫一个群.好像是离散数学中群论的一个概念.
明白了,对集合中的任意两个元素,如果有一种二元运算(表示为X),使得：
1. 任意两个元素在这种运算下的得到的结果还在这个集合中
2. a、b、c是集合中元素,(aXb)Xc=aX(bXc),即这种运算满足满足结合律
3. 存在单位元e,使得eXa=aXe=a
4. 任何元素a都存在逆元b,使得aXb=e
显然自然数上和通常的乘法不构成一个群,因为这些自然数,在这种运算下不存在逆元.
还是这种乘法,但集合扩展到实数,就构成了一个群：
1. 任两个实数的乘法还是实数
2. 显然满足结合律
3. 单位元是1
4. 任何实数a的逆元是其导数1/a
绝对值为1的复数是：
a+bi 其中 sqrt(a^2+b^2)=1
要证明它是一个群,主要是要找到一种运算满足上述4个条件.