如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6）．点B（6，6），点C（6，0），点D是射线OA（O，A除外）上的动点，点E是O点关于直线CD的对称点，延长DE交直线AB于点F，连结CF．（1）某探究小组

Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6）．点B（6，6），点C（6，0），点D是射线OA（O，A除外）上的动点，点E是O点关于直线CD的对称点，延长DE交直线AB于点F，连结CF．
（1）某探究小组发现：当点D在线段OA上时，有①EF=BF；②∠DCF=45°，请选择其中一个证明．
（2）当AD=2时，求点F的坐标．
（3）探究小组又发现：如图2．当点D在线段OA上时，射线CD、CF与射线OB分别交于点M，N，线段OM，MN，BN之间除了存在OM+MN+NB=6√(2)外，还存在着另外的等式关系，你能找到并写出这个等式吗？当点D不在线段OA上时，这两个等式是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵O、E关于CD对称，
∴OD=DE，OC=CE=CB，∠DCE=∠DCO，
∵CF=CF，
∴Rt△CFE≌Rt△CFB，
∴EF=BF，∠FCE=∠FCB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=(1)/(2)∠ECO+(1)/(2)∠ECB=(1)/(2)∠OCB=45°，
∴FE=FB，∠DCF=45°．

（2） 如图1中，
∵AD=2，
∴OD=DE=4，设EFF=FB=x，则AF=6-x，
在Rt△ADF中，∵AD²+AF²=DF²
∴2²+（6-x）²=（4+x）²，
∴x=(6)/(5)．

（3） ①如图2中，当当D在线段OA上时，结论：MN²=OM²+NB²．

理由：将△OCM绕点C顺时针旋转90°，得到△CBP．
∵∠DCF=45°，
∴∠OCM+∠BCN=45°，
∵∠OCM=∠BCP，
∴∠NCB+∠BCP=45°，
∴∠MCN=∠NCP，∵CN=CN，CM=CP，
∴△CNM≌△CNP，
∴MN=PN，
∵∠OBC=∠CBP=45°，
∴∠MBP=90°，
∴BN²+BP²=PN²，
∴MN²=OM²+NB²．

②如图3中，当点D在线段OA的延长线上时，第一个结论变了：OM+MN-BN=6√(2)．理由：OM+MN-BN=OB=6√(2)．
第二个结论不变，理由如下：

理由：将△OCM绕点C顺时针旋转90°，得到△CBP．
易证∠DCO=∠DCE，∠FCE=∠FCB，
∴∠DCF=∠DCE-∠FCE=(1)/(2)∠OCE-(1)/(2)∠BCE=(1)/(2)（∠OCE-∠BCE）=45°，
∴∠OCM-∠BCN=45°，
∵∠OCM=∠BCP，
∴∠NCP=∠BCP-∠BCN=45°，
∴∠MCN=∠NCP=45°，
∵CN=CN，CM=CP，
∴△CNM≌△CNP，
∴MN=PN，
∵∠OBC=∠CBP=45°，
∴∠MBP=90°，
∴BN²+BP²=PN²，
∴MN²=OM²+NB²．