如图,△ABC中,AB>AC,∠A的平分线交外接圆于P,DE⊥AB,垂足为E,求证：AB-AC=2BE

Question

如图,△ABC中,AB>AC,∠A的平分线交外接圆于P,DE⊥AB,垂足为E,求证：AB-AC=2BE

Answer 1

过P作PF⊥AC交AC延长线于F,
∵∠BAP=∠PAF,PF⊥AC,PE⊥AB
∴PE=PF,
∵AP是公共边.
∴Rt△APE≌Rt△APF
∴AE=AF
∵∠B+∠ACP=180°(圆的内接四边形对角互补)
∠ACP+∠FCP=180°
∴∠FCP=∠B
又∵PF⊥AC,PE⊥AB,PE=PF
∴Rt△BPE≌Rt△CPF
∴CF=BE
∵AE=AB-BE
AF=AC+CF=AC+BE
AE=AF(已证)
∴AB-BE=AC+BE
即AB-AC=2BE