f(x)=2x^5-10x^4+16x^3+14x-6在Q[x]内的典型分解式为（）

Question

f(x)=2x^5-10x^4+16x^3+14x-6在Q[x]内的典型分解式为（）

Answer 1

如果题目没写错,f(x)在Q[x]上是不可约的.
不过真心难算,不知道出题人是怎么想的,Eisenstein判别法好像也不太好用.
f(x) = 2(x^5-5x^4+8x^3+7x-3).
先找形如x-a的1次因子,1次有理因式满足a整除3,即a = ±1,±3.
验算得它们都不是f(x)的根,f(x)在Q[x]中无1次因子(因此也无4次因子).
再找2次因子,形如x²-ax+b,可知a,b均为整数,且b = ±1,±3.
带余除法f(x)/2 = (x²-ax+b)(x³+(-5 + a)x²+(8-b-5a+a²)x+(5b+8a-2ab-5a²+a³))+r(x)
r(x)是次数不超过1的余式,这里可以不用具体形式,就不写了.
考察常数项
若b = 1,有5b+8a-2ab-5a²+a³ = -3,得a³-5a²+6a+8 = 0,无有理根.
b = -1,有5b+8a-2ab-5a²+a³ = 3,a³-5a²+10a-8 = 0.只有一个有理根a = 2.
但带回验算得(x²-2x-1)(x³-3x²+3x+3) = x^5-5x^4+8x^3-9x-3 ≠ f(x)/2.
b = 3,有5b+8a-2ab-5a²+a³ = -1,得a³-5a²+2a+16 = 0,无有理根.
b = -3,有5b+8a-2ab-5a²+a³ = 1,得a³-5a²+14a-16 = 0,只有一个有理根a = 2.
但带回验算得(x²-2x-3)(x³-3x²+5x+1) = x^5-5x^4+8x^3-17x-3 ≠ f(x)/2.
综上f(x)在Q[x]中也没有2次因子(因此也无4次因子).
一般不会出这么麻烦的题,谨慎怀疑是题目出错了.