一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管中井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿

Question

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管中井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径r=0.100m，井口半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10 ³ kg/m ³ ，大气压p ₀ =1.00×10 ⁵ Pa。求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计磨擦，重力加速度g=10m/s ² ）

Answer 1

从开始提升到活塞升到外水面高度差为 ，活塞始终与管内液体接触。（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论）
设活塞上升距离为h ₁ ，管外液面下降距离为h ₂ ，h ₀ =h ₁ +h ₂
因液体体积不变，有 ，得
题给H=9m>h ₁ ，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程
活塞移动距离从零到h ₁ 的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功因为始终无动能，所以机械能的增量也就是等于重力势能的增量。即 ，其他力有管内、管外的大气和拉力F
因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功。 ，故外力做力就只是拉力F做的功，由功能关系知
即：
活塞移动距离从h ₁ 到H的过程中，液面不变，F是恒力，F 做功

所求拉力F做的总功为